Harmonik Orta (harmonic mean)

Tanımı

Harmonik orta, hız (yol/zaman) ve yoğunluk (kütle/hacim) benzeri oran içeren değerlerin orta değerini bulmak amacıyla kullanılır. Başlangıçta altzıt (subcontrary) olarak adlandırılmış ancak daha sonra uyumlu oranlarla ilgili olduğu için bu adı almıştır. K'ıncı dereceden orta denkleminde k değişkenine -1 değerinin atanması ile elde edilir:

$$O_{-1}={\left(\frac{x_1^{-1}+x_2^{-1}+\dots +x_{\mathrm{n}}^{-1}}{n}\right)}^{\frac{1}{-1}}={\left(\frac{x_1^{-1}+x_2^{-1}+\dots +x_{\mathrm{n}}^{-1}}{n}\right)}^{-1}={\left(\frac{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}{n}\right)}^{-1}=\left(\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}\right)$$

Harmonik orta adımları şöyle özetlenebilir:

• Her üyenin evriği (reciprocal) alınır.
• Evrik değerlerin aritmetik ortası bulunur.
• Aritmetik ortanın evriği alınır.

Ağırlıklı harmonik orta ağırlıklı k'ıncı dereceden ortanın benzeridir. Üyelerin ağırlıkları da hesaba katılır:

$$O_{-1}={\left(\frac{a_1{x}_1^{-1}+a_2{x}_2^{-1}+\dots +a_{\mathrm{n}}{x}_{\mathrm{n}}^{-1}}{a_1+a_2+\dots +a_{\mathrm{n}}}\right)}^{\frac{1}{-1}}=\left(\frac{a_1+a_2+\dots +a_{\mathrm{n}}}{\frac{a_1}{x_1}+\frac{a_2}{x_2}+\dots +\frac{a_n}{x_n}}\right)$$

Harmonik ortanın en önemli üstünlüğü evrikliğin etkisiyle büyük sıra dışı (outlier) değerlerin etkisini azaltmasıdır. Evriklik etkisi aynı zamanda önemli bir eksikliğidir çünkü küçük değerlere karşı hassastır.

Harmonik ortanın neden oran içeren değerlerin orta değerini bulmak için en uygun yöntem olduğu hız örneği ile açıklanabilir.

Örnek

20 km uzunluğundaki bir yolun 80 km/sa hızla gidilip 40 km/sa hızla dönüldüğü varsayılırsa yapılan yolculuğun orta hızı ne olur?

Bu örnek aritmetik orta ile çözülürse orta hız:

$$\stackrel{-}{h}=\frac{80+40}{2}=60km/sa$$

olur. Ancak 40 km için harcanan toplam zaman: gidiş 15 dk. ve dönüş 30 dk. olmak üzere 45 dk. olur. Bu durumda orta hız 40/0,75=53,33 km/sa olarak hesaplanır. Bulunan sonuç aritmetik orta ile çözümün doğru yol olmadığını göstermektedir. Aynı örnek harmonik orta ile çözülürse orta hız:

$$O_{-1}=\left(\frac{2}{\frac{1}{40}+\frac{1}{80}}\right)=\left(\frac{2}{\frac{3}{80}}\right)=\left(\frac{160}{3}\right)=\mathrm{53,33}km/sa$$

bulunur. Harmonik orta ile doğru sonuca ulaşılmıştır.

Kanıtı (proof)

Harmonik orta yönteminin özelliği üç değişkenli denklemde iki değişkeni (yol ve zaman) sabit tutarak üçüncü değişkeni (hız) bulmaya çalışmamızdır. Yol (y), gidiş zamanı (z₁), gidiş hızı (h₁), dönüş zamanı (z₂), dönüş hızı (h₂), yolda yapılan yolculuk sayısı (n) olmak üzere toplam yol (n×y), toplam yolculuk zamanı ile ortalama hızın (ho) çarpımıdır.

$$n\times y=\mathrm{ho}\times \sum _n^{}{z}_n$$

Zaman, yol/hız olduğundan:

$$n\times y=\mathrm{ho}\times \sum _n^{}\frac{y}{h_n}=\mathrm{ho}\times y\times \sum _n^{}\frac{1}{h_n}\Rightarrow \mathrm{ho}=\frac{n}{\sum _n^{}\frac{1}{h_n}}$$

Kaynakça

Britannica, “mean”, https://www.britannica.com/science/mean, Erişim: 09.02.2025.

J. Komic, “Harmonic Mean”, International Encyclopedia of Statistical Science, Springer, Berlin, Heidelberg, 2011.